📉 04. 周波数応答とボード線図の基礎

04. Basics of Frequency Response & Bode Plot

Note: 数式が正しく表示されない場合は GitHub版を参照してください。

ボード線図（Bode plot） は、制御系の周波数応答特性を視覚的に評価するための基本ツールです。本節では、ボード線図の読み方・描き方、ゲイン交差周波数・位相余裕の意味、安定性やロバスト性との関係を学びます。
The Bode plot is a fundamental tool to visualize the frequency response of a control system. This section explains how to read and draw Bode plots, the meaning of gain crossover frequency and phase margin, and their relation to stability and robustness.

🎯 本節の学習目標｜Learning Objectives

周波数応答の定義を理解する
Understand the definition of frequency response
ボード線図の構成（ゲイン・位相）を把握する
Understand the structure of a Bode plot (gain & phase)
ゲイン交差周波数と位相余裕の意味を説明できる
Explain gain crossover frequency & phase margin
安定性とロバスト性の観点から周波数特性を評価できる
Evaluate frequency response in terms of stability & robustness

🎧 周波数応答とは？｜What is Frequency Response?

システム $G(s)$ において $s = j\omega$ とすると、周波数応答が得られます：
In a system $G(s)$, substituting $s = j\omega$ yields the frequency response:

\[G(j\omega) = |G(j\omega)| \angle \arg(G(j\omega))\]

振幅特性 / Magnitude：入力に対する出力の大きさ
位相特性 / Phase：入力と出力の間の位相差（遅れ）

📊 ボード線図の構成｜Bode Plot Structure

横軸 / X-axis：周波数（対数スケール, [rad/s]）
縦軸（上段） / Upper Y-axis：ゲイン（dB） → $20 \log_{10} \lvert G(j\omega) \rvert$
縦軸（下段） / Lower Y-axis：位相（deg） → $\arg G(j\omega)$

ボード線図は、ゲイン特性と位相特性を上下2つのグラフで表示します。
A Bode plot displays magnitude and phase characteristics in two separate graphs.

🧠 重要な周波数点｜Key Frequency Points

✅ ゲイン交差周波数 / Gain Crossover Frequency $\omega_g$

ゲインが $\lvert G(j\omega) \rvert = 1$（0 dB）になる周波数
Frequency at which the magnitude is 1 (0 dB)

✅ 位相交差周波数 / Phase Crossover Frequency $\omega_p$

位相が $\angle G(j\omega) = -180^\circ$ となる周波数
Frequency at which the phase is $-180^\circ$

🛡️ 安定性とロバスト性｜Stability & Robustness

位相余裕 / Phase Margin (PM)

\[\text{PM} = 180^\circ + \angle G(j\omega_g)\]

ゲイン交差周波数における位相の余裕
Phase margin at gain crossover frequency

ゲイン余裕 / Gain Margin (GM)

\[\text{GM} = \frac{1}{|G(j\omega_p)|} \quad \text{or} \quad -20\log_{10}|G(j\omega_p)|\]

位相交差周波数におけるゲインの余裕
Gain margin at phase crossover frequency

経験則 / Rules of Thumb:

PM > 30°
GM > 6 dB

🔧 典型的な応答例｜Typical Responses

要素 / Element	ゲイン傾き / Gain Slope	位相変化 / Phase Shift
積分器 $1/s$	-20 dB/dec	-90°
微分器 $s$	+20 dB/dec	+90°
一次遅れ	-20 dB/dec	-90° (asymptotic)
二次遅れ	-40 dB/dec	-180° (asymptotic)

🧪 Python実装例｜Python Example

import control
import matplotlib.pyplot as plt

# Example: Second-order system
G = control.tf([1], [1, 2, 1])
control.bode_plot(G, dB=True, Hz=False, deg=True)
plt.show()

control.bode_plot: ゲイン・位相を一括描画
Plots gain and phase in one function
matplotlibで調整・保存可能
Adjustable and savable with matplotlib

📂 出力例: /figures/bode_example.png
Example output: /figures/bode_example.png

📚 参考資料｜References

森北出版「制御工学」
Franklin et al., Feedback Control of Dynamic Systems
Python: control, matplotlib

⬅️ 前節 / Previous Section
安定性判別法（Routh・根軌跡・ナイキスト）を学びます。
Covers stability determination methods (Routh, Root Locus, Nyquist).

➡️➡️ 次節 / Next Section
PID設計のパラメータ調整と実装方法を解説します。
Explains PID tuning methods and implementation.

📚 この章のREADMEへ / Back to Part 1 README
古典制御理論の全体構成と教材一覧に戻ります。
Return to the full Part 1 structure and materials list.