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🧮 03. 安定性判別法（Routh, 根軌跡, ナイキスト）

制御系の最も基本的な要件は「安定であること」です。本節では、古典制御理論における安定性の定義と、主要な判別法である Routh-Hurwitz判別法, 根軌跡法（Root Locus）, ナイキスト法（Nyquist） を学びます。

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🎯 本節の学習目標

• 安定性の定義と必要条件を理解する
• Routh表による安定性判別を手計算できる
• 根軌跡法による安定判定と極配置の概念を理解する
• ナイキスト線図と周波数応答による安定性評価を習得する

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📌 安定性の定義

制御系が安定であるとは、すべての閉ループ極が左半平面にあることを意味します。

• 連続系：すべての極の実部が負
• 離散系：すべての極が単位円内

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🔢 Routh-Hurwitz判別法

伝達関数：

\[G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_ms^m + \cdots + b_0}{a_ns^n + \cdots + a_0}\]

安定性は $D(s)$ の根（極）に依存します。Routh表を用いて、正の実部を持つ根が存在するかを判定します。

手順（例：4次系）

1. 係数を使って1列目を作成
2. 順次、補間して表を構成
3. 1列目の符号変化の回数 = 不安定極の数

✅ すべての1列目が正 → 安定

（表の例は紙面またはPDF用で図示）

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📈 根軌跡法（Root Locus）

極の位置変化を視覚的に追跡する方法

開ループ伝達関数：

\[G(s)H(s) = \frac{K \cdot N(s)}{D(s)}\]

• ゲイン $K$ を変化させたときの閉ループ極の軌跡を表示
• 安定領域、減衰比、応答速度の変化を視覚的に把握可能

特徴

• 左半平面 → 安定
• 軌跡の右側 → 不安定
• PID設計・極配置の指針になる

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🌀 ナイキスト判別法

周波数応答を用いた安定性評価手法

• 閉ループ系の安定性を開ループ周波数応答から評価可能
• Nyquist線図が点 $-1+j0$ を何回・どの方向に囲むかを見る

判別ルール（補足：$N = Z - P$）

• $P$：右半平面にある開ループ極の数
• $Z$：右半平面にある閉ループ極の数
• $N$：$-1$ 点を囲んだ回数（反時計回りを正）

✅ $Z = 0$ → 安定

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🛠️ 各手法の比較

判別法	利点	注意点
Routh-Hurwitz	計算簡単・定量的	高次になると表が複雑
根軌跡法	可視化しやすい	モデルに依存・設計に応用
ナイキスト法	周波数特性で可能	周波数応答取得が必要

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🧪 Python実装例

• Routh表：数式処理 or 自作関数による計算
• 根軌跡法：control.root_locus()
• ナイキスト線図：control.nyquist_plot()

※ 詳細は /simulation/stability_methods.py を参照

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📚 参考資料

• 「制御工学入門」森北出版
• Franklin et al., Feedback Control of Dynamic Systems
• Python: control, sympy, matplotlib

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