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🧮 03. 安定性判別法（Routh, 根軌跡, ナイキスト）

03. Stability Determination Methods (Routh, Root Locus, Nyquist)

Note: 数式が正しく表示されない場合は GitHub版 を参照してください。

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制御系の最も基本的な要件は 「安定であること」 です。本節では、古典制御理論における安定性の定義と、主要な判別法である Routh-Hurwitz判別法, 根軌跡法（Root Locus）, ナイキスト法（Nyquist） を学びます。
The most fundamental requirement of a control system is stability. This section explains the definition of stability in classical control theory and the major determination methods: Routh-Hurwitz criterion, Root Locus, and Nyquist method.

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🎯 本節の学習目標｜Learning Objectives

• 安定性の定義と必要条件を理解する
  Understand the definition and conditions for stability
• Routh表による安定性判別を手計算できる
  Perform stability check using Routh table manually
• 根軌跡法による安定判定と極配置を理解する
  Understand stability check and pole placement via Root Locus
• ナイキスト線図による周波数領域の安定性評価を習得する
  Learn frequency-domain stability check using Nyquist plot

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📌 安定性の定義｜Definition of Stability

制御系が安定であるとは、すべての閉ループ極が左半平面にあることを意味します。
A control system is stable if all closed-loop poles lie in the left-half complex plane.

• 連続系 / Continuous-time: All poles have negative real parts
• 離散系 / Discrete-time: All poles lie inside the unit circle

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🔢 Routh-Hurwitz判別法｜Routh-Hurwitz Criterion

伝達関数 / Transfer Function:

\[G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_ms^m + \cdots + b_0}{a_ns^n + \cdots + a_0}\]

安定性は $D(s)$ の根（極）に依存します。
Stability depends on the roots (poles) of $D(s)$.

手順（例：4次系） / Procedure (Example: 4th order):

1. 係数を使って1列目を作成 / Fill first column using coefficients
2. 補間計算で表を構成 / Build table with interpolation calculations
3. 1列目の符号変化回数 = 不安定極の数 / Number of sign changes = number of unstable poles

✅ すべて正 → 安定 / All positive → Stable

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📈 根軌跡法｜Root Locus Method

開ループ伝達関数 / Open-loop transfer function:

\[G(s)H(s) = \frac{K \cdot N(s)}{D(s)}\]

• ゲイン $K$ を変化させたときの閉ループ極の軌跡を描く
  Plots locus of closed-loop poles as $K$ varies
• 安定領域、減衰比、応答速度の変化を視覚的に把握可能
  Visualizes stability region, damping ratio, and speed changes

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🌀 ナイキスト判別法｜Nyquist Stability Criterion

周波数応答を用いた安定性評価
Evaluates stability using frequency response.

• Nyquist線図が $-1+j0$ を囲む回数・方向を確認
  Check how many times and in which direction Nyquist plot encircles $-1+j0$

判別ルール / Rule:

\[N = Z - P\]

• $P$: 右半平面にある開ループ極の数 / # of open-loop poles in RHP
• $Z$: 右半平面にある閉ループ極の数 / # of closed-loop poles in RHP
• $N$: $-1$ 点を囲んだ回数（反時計回りを正） / Encirclements of $-1$ (CCW positive)

✅ $Z = 0$ → 安定 / Stable if $Z=0$

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🛠️ 各手法の比較｜Comparison

判別法 / Method	利点 / Advantages	注意点 / Limitations
Routh-Hurwitz	計算簡単・定量的 / Simple & quantitative	高次で複雑化 / Complex for high-order
根軌跡法	可視化容易 / Easy visualization	モデル依存 / Model-dependent
ナイキスト法	周波数応答ベース / Based on frequency response	実測データ必要 / Requires measured data

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🧪 Python実装例｜Python Examples

• Routh表: sympy or custom Python function
• 根軌跡法: control.root_locus()
• ナイキスト線図: control.nyquist_plot()

📂 See: /simulation/stability_methods.py

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📚 参考資料｜References

• 森北出版「制御工学入門」
• Franklin et al., Feedback Control of Dynamic Systems
• Python: control, sympy, matplotlib

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⬅️ 前節 / Previous Section
過渡応答と定常偏差の基礎を学びます。
Covers fundamentals of transient response & steady-state error.

➡️➡️ 次節 / Next Section
周波数応答とボード線図の解析手法を解説します。
Explains frequency response and Bode plot analysis.

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