🛡️ 05. 安定余裕とロバスト性の評価

05. Stability Margins & Robustness Evaluation

Note: 数式が正しく表示されない場合は GitHub版を参照してください。

現実の制御系は、モデル誤差・外乱・遅延などによる不確かさを常に抱えています。安定性を保証しつつ、こうした変動に耐える性能 ― それが「ロバスト性」です。本節では、ゲイン余裕（Gain Margin）・位相余裕（Phase Margin） による定量評価法と、その設計指針を学びます。
Real-world control systems always face uncertainties such as modeling errors, disturbances, and delays. Ensuring stability under such variations is called robustness. This section covers quantitative evaluation using gain margin (GM) and phase margin (PM), and related design guidelines.

🎯 本節の学習目標｜Learning Objectives

安定余裕（GM・PM）の定義と算出法を理解する
Understand the definition and calculation of GM and PM
安定余裕が実システムに与える意味を把握する
Understand the practical significance of stability margins
ロバスト性と安定余裕の関係性を説明できる
Explain the relationship between robustness and stability margins
仕様に基づいた設計改善の方向性を見出せる
Identify design improvement strategies based on specifications

⚖️ 安定余裕とは？｜What are Stability Margins?

✅ 位相余裕 / Phase Margin (PM)

ゲイン交差周波数 $\omega_g$ における位相の余裕：
Phase margin at gain crossover frequency $\omega_g$:

\[\text{PM} = 180^\circ + \angle G(j\omega_g)\]

✅ ゲイン余裕 / Gain Margin (GM)

位相交差周波数 $\omega_p$ におけるゲインの余裕：
Gain margin at phase crossover frequency $\omega_p$:

\[\text{GM} = \frac{1}{|G(j\omega_p)|} \quad \text{or} \quad -20 \log_{10} |G(j\omega_p)| \; [\mathrm{dB}]\]

🧠 なぜ必要か？｜Why Do We Need Them?

モデルのズレや外乱があっても安定を保つため
Maintain stability despite model mismatches or disturbances
位相の予期せぬ回転やゲインの増減が不安定化を招く
Unexpected phase shifts or gain changes can destabilize the system
十分な余裕があるとノイズやパラメータ変動に強い
Adequate margins improve tolerance to noise and parameter variations

🎛️ 設計目安と実務値｜Design Guidelines

指標 / Metric	安定の目安 / Stability Criterion	備考 / Notes
PM	$> 30^\circ$	45～60°が望ましい場合も / 45–60° often preferred
GM	$> 6$ dB	10～20 dBが好まれる場合も / 10–20 dB often preferred

🧪 周波数応答からの読み取り｜Reading from Frequency Response

手順（ボード線図）｜Procedure (Bode Plot)

ゲインプロットが 0 dB になる点 $\omega_g$ を見つける
Find $\omega_g$ where gain = 0 dB
その周波数における位相から PM を計算
Compute PM at that frequency
位相が $-180^\circ$ になる点 $\omega_p$ を見つける
Find $\omega_p$ where phase = $-180^\circ$
その周波数におけるゲインから GM を計算
Compute GM at that frequency

Python例｜Python Example

import control
from control.freqplot import margin

# Example: Second-order system
G = control.tf([1], [1, 2, 1])
gm, pm, wg, wp = margin(G)
print(f"Gain Margin: {gm}, Phase Margin: {pm}")

🔍 ロバスト性との関係｜Relation to Robustness

✅ ロバスト性とは？ / What is Robustness?

不確かさや変動に対する安定性・性能維持の能力
Ability to maintain stability and performance under uncertainties
モデル誤差、パラメータ変動、外乱などへの耐性
Tolerance to modeling errors, parameter variations, and disturbances

安定余裕がロバスト性を担保する理由

Why Stability Margins Ensure Robustness

大きな PM/GM → 安定の「バッファ」あり
Large PM/GM = stability “buffer”
ノイズ・遅延・位相ずれがあっても発散しにくい
Less prone to divergence under noise, delay, or phase shift

💡 設計改善のヒント｜Design Improvement Tips

PM が小さい → 位相補償器（リード補償）を追加
Low PM → add phase lead compensation
GM が小さい → ゲインを抑える or フィルタ追加
Low GM → reduce gain or add filter
両者が小さい → 制御器の構造見直し（PI → PID など）
Both small → reconsider controller structure (e.g., PI → PID)

📚 参考資料｜References

森北出版「制御工学」
Franklin et al., Feedback Control of Dynamic Systems
Python: control.margin, bode_plot

⬅️ 前節 / Previous Section
周波数応答とボード線図の基礎を学びます。
Covers basics of frequency response and Bode plots.

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