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📘 04. サブスペース同定法（Subspace Identification）

本節では、入力–出力データに基づいて状態空間モデルを推定する手法、
サブスペース同定法（Subspace Identification）について解説します。

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🎯 サブスペース同定とは？

• 時系列データ（入出力）から状態空間モデル $A, B, C, D$ を直接構築
• ノイズに強く、SVD（特異値分解）を用いた安定な推定が可能
• 多変数系（MIMO）やブラックボックス系に有効

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🧠 数学的背景（簡略）

状態空間モデル：

\[\begin{aligned} x_{k+1} &= A x_k + B u_k \\ y_k &= C x_k + D u_k \end{aligned}\]

入力 $u_k$、出力 $y_k$ の系列から、回帰行列やハンケル行列を構成し、
SVD を通じて内部状態の次元とモデル行列を抽出します。

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🔧 主なステップ（N4SIDアルゴリズム例）

1. データ系列 ${u_k, y_k}$ を収集
2. ハンケル行列（時系列の履歴）を構成
3. SVDにより系の次数（状態次元）を推定
4. 観測行列・状態遷移行列 $A, B, C, D$ を推定
5. 得られたモデルの予測精度や再現性を検証

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📈 特徴と利点

項目	内容
必要データ	入力–出力系列
ノイズ耐性	高い（SVDにより安定）
系の次数選定	自動・半自動で可能
拡張性	MIMO, 時不変・時変系にも対応

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🧪 本教材での実装例

• ファイル：subspace_identification.py

実験では、Python + NumPy + SciPy により小規模系の識別を行います。

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💡 備考

• MATLABの n4sid() 関数で広く利用されている手法
• Pythonでは pyN4SID や control.matlab 相当の実装が必要
• KoopmanやDMDと異なり、状態ベースの再構築が主目的

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🔚 まとめ

サブスペース同定法は、モデルベース制御への橋渡しとして有効な識別法です。
次節では、こうしたデータ駆動手法と従来モデルの統合について考察します。

📁 次へ：05_data_vs_model.md

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