📘 04. サブスペース同定法（Subspace Identification）
💡 Note: 数式が正しく表示されない場合は、GitHub版はこちら をご覧ください。
本節では、入力–出力データに基づいて状態空間モデルを推定する手法、
サブスペース同定法（Subspace Identification）について解説します。
This section explains subspace identification, a method to estimate state-space models directly from input–output data.
🎯 サブスペース同定とは？ / What is Subspace Identification?
- 入力–出力時系列から状態空間モデル $A, B, C, D$ を直接構築
Directly constructs state-space models $A, B, C, D$ from input–output time series - ノイズに強く、SVD（特異値分解）を用いた安定な推定が可能
Robust to noise, uses Singular Value Decomposition (SVD) for stable estimation - 多変数系（MIMO）やブラックボックス系にも有効
Effective for multi-variable (MIMO) and black-box systems
🧠 数学的背景（簡略） / Mathematical Background (Simplified)
状態空間モデル / State-space model:
\[\begin{aligned} x_{k+1} &= A x_k + B u_k \\ y_k &= C x_k + D u_k \end{aligned}\]入力 $u_k$、出力 $y_k$ の系列から、回帰行列やハンケル行列を構成し、
SVD を通じて内部状態の次元とモデル行列を抽出します。
From sequences of $u_k$ and $y_k$, construct regression or Hankel matrices,
then extract system order and model matrices via SVD.
🔧 主なステップ（N4SIDアルゴリズム例） / Main Steps (N4SID Example)
- データ系列 ${u_k, y_k}$ を収集
Collect data sequences ${u_k, y_k}$ - ハンケル行列（時系列の履歴）を構成
Construct Hankel matrices (history of time series) - SVDにより系の次数（状態次元）を推定
Estimate system order (state dimension) via SVD - 観測行列・状態遷移行列 $A, B, C, D$ を推定
Estimate observation and state-transition matrices $A, B, C, D$ - 得られたモデルの予測精度や再現性を検証
Validate prediction accuracy and reproducibility
📈 特徴と利点 / Features and Advantages
| 項目 / Item | 内容 / Description |
|---|---|
| 必要データ / Required Data | 入力–出力系列 / Input–output sequences |
| ノイズ耐性 / Noise Robustness | 高い（SVDにより安定） / High (stable via SVD) |
| 系の次数選定 / Order Selection | 自動・半自動で可能 / Automatic or semi-automatic |
| 拡張性 / Extensibility | MIMO, 時不変・時変系にも対応 / Supports MIMO, LTI & LTV systems |
🧪 本教材での実装例 / Implementations in This Chapter
- Pythonスクリプト / Python Script:
subspace_identification.py
実験では、Python + NumPy + SciPy により小規模系の識別を行います。
Experiments identify small-scale systems using Python + NumPy + SciPy.
💡 備考 / Notes
- MATLABの
n4sid()関数で広く利用される
Widely available asn4sid()in MATLAB - Pythonでは
pyN4SIDやcontrol.matlab相当の実装が必要
Requires equivalents likepyN4SIDorcontrol.matlabin Python - KoopmanやDMDと異なり、状態ベースの再構築が主目的
Unlike Koopman or DMD, the main goal is state-based reconstruction
🔚 まとめ / Summary
サブスペース同定法は、モデルベース制御への橋渡しとして有効な識別法です。
Subspace identification is an effective method for bridging to model-based control.
次節では、こうしたデータ駆動手法と従来モデルの統合について考察します。
In the next section, we discuss integrating these data-driven methods with traditional models.
⬅️ 前節 / Previous
動的モード分解（DMD）の理論と応用を解説します。
Covers the theory and applications of Dynamic Mode Decomposition (DMD).
➡️➡️ 次節 / Next
データ駆動とモデルベース制御の統合戦略を説明します。
Explains integration strategies for data-driven and model-based control.