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🔍 03. 動的モード分解（DMD：Dynamic Mode Decomposition）

本節では、観測データに基づいて力学系の振る舞いを抽出する手法である
動的モード分解（DMD） について解説します。これはKoopman理論の一部としても位置づけられます。

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🎯 DMDの概要

• 非線形・未知の力学系に対して、観測データから線形近似モデルを構築
• 多自由度システムや時系列信号の「モード成分」を抽出可能
• モデル構築不要で、データ駆動型の予測・解析が可能

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🧠 数理モデル

観測系列 ${x_1, x_2, \dots, x_m}$ を以下のように構成：

\[X = [x_1, x_2, \dots, x_{m-1}], \quad X' = [x_2, x_3, \dots, x_m]\]

DMDの目標は、$X’$ を $X$ によって最もよく近似する線形写像 $A$ を求めること：

\[X' pprox A X\]

この $A$ の固有分解（またはSVD）によって、動的モード を抽出します。

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📐 DMDの計算ステップ

1. 入力データ系列を $X$, $X’$ に分解
2. SVD分解： \(X = U \Sigma V^T\)
3. 低次元DMD行列： \(ilde{A} = U^T X' V \Sigma^{-1}\)
4. 固有値・固有ベクトルの解析により、モード・成長率・振動数を抽出

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📊 応用例

• 流体シミュレーションのモード解析
• 建物振動の状態推定
• 複雑システムの次元削減と予測

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🛠️ 本教材での実装

• ファイル：dmd_analysis.py
• Notebook：koopman_vs_dmd_visual.ipynb

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💡 DMDとKoopmanの関係

観点	DMD	Koopman
アプローチ	データから近似線形写像	関数空間の線形作用素
必要データ	状態系列 $x_t$	状態・入力・出力などの関数空間
制御との統合	制限的（予測用）	制御設計が可能（線形系に変換）

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🔚 まとめ

DMDは、「モデルレスで予測可能な線形系」を観測から得る代表的な手法です。
次節では、より制御指向なモデル構築手法である「サブスペース同定法」を学びます。

📁 次へ：04_subspace_id.md

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