🔍 03. 動的モード分解（DMD: Dynamic Mode Decomposition）
💡 Note: 数式や図が正しく表示されない場合は、GitHub版はこちら をご覧ください。
本節では、観測データに基づいて力学系の振る舞いを抽出する手法である
動的モード分解（DMD） について解説します。これはKoopman理論の特別なケースとしても位置づけられます。
This section explains Dynamic Mode Decomposition (DMD), a method for extracting system dynamics directly from observation data, considered a special case of Koopman theory.
🎯 DMDの概要 / Overview
- 非線形・未知の力学系に対して、観測データから線形近似モデルを構築
For nonlinear or unknown systems, construct a linear approximation model from observation data - 多自由度システムや時系列信号の「モード成分」を抽出可能
Extract modal components of multi-DOF systems or time-series signals - モデル構築不要で、データ駆動型の予測・解析が可能
Enables data-driven prediction and analysis without explicit modeling
🧠 数理モデル / Mathematical Formulation
観測系列 ${x_1, x_2, \dots, x_m}$ を以下のように構成：
Given a time series ${x_1, x_2, \dots, x_m}$, form:
DMDの目標は、$X’$ を $X$ によって最もよく近似する線形写像 $A$ を求めること：
The goal of DMD is to find a linear map $A$ such that:
この $A$ の固有分解（またはSVD）によって、動的モード を抽出します。
The eigen-decomposition (or SVD) of $A$ yields the dynamic modes.
📐 DMDの計算ステップ / Computational Steps
- 入力データ系列を $X$, $X’$ に分解
Split the data sequence into $X$ and $X’$ - SVD分解：
Perform SVD: \(X = U \Sigma V^T\) - 低次元DMD行列：
Reduced DMD matrix: \(\tilde{A} = U^T X' V \Sigma^{-1}\) - 固有値・固有ベクトルを解析して、モード・成長率・振動数を抽出
Analyze eigenvalues and eigenvectors to extract modes, growth rates, and frequencies
📊 応用例 / Applications
- 流体シミュレーションのモード解析
Modal analysis in fluid simulations - 建物振動の状態推定
Structural vibration state estimation - 複雑システムの次元削減と予測
Dimensionality reduction and prediction of complex systems
🛠️ 本教材での実装 / Implementations in This Chapter
- Pythonスクリプト / Python Script:
dmd_analysis.py - 可視化Notebook / Visualization Notebook:
koopman_vs_dmd_visual.ipynb
💡 DMDとKoopmanの関係 / Relation to Koopman Theory
| 観点 / Aspect | DMD | Koopman |
|---|---|---|
| アプローチ / Approach | データから近似線形写像 | 関数空間の線形作用素 |
| 必要データ / Required Data | 状態系列 $x_t$ | 状態・入力・出力などの関数空間 |
| 制御との統合 / Control Integration | 制限的（予測用） | 制御設計が可能（線形系に変換） |
🔚 まとめ / Summary
DMDは、「モデルレスで予測可能な線形系」を観測から得る代表的な手法です。
DMD is a representative model-free method for obtaining a predictable linear system from observations.
次節では、より制御指向なモデル構築手法であるサブスペース同定法を学びます。
In the next section, we will study subspace identification, a more control-oriented modeling approach.
⬅️ 前節 / Previous
Koopman演算子とその線形化手法を解説します。
Covers the Koopman operator and its linearization approach.
➡️➡️ 次節 / Next
サブスペース同定法の理論と実装を説明します。
Covers the theory and implementation of subspace identification.