📈 02. Koopman演算子と線形化 / Koopman Operator & Linearization
💡 Note: 数式や図が正しく表示されない場合は、GitHub版はこちら をご覧ください。
本節では、非線形力学系を高次元空間上で線形系として扱うという発想に基づく
Koopman演算子理論と、その制御応用について解説します。
This section introduces the Koopman operator theory, which enables treating nonlinear dynamical systems as linear systems in higher-dimensional spaces, and discusses its control applications.
📚 背景：非線形系の困難さ / Background: The Challenge of Nonlinear Systems
多くの実システムは非線形であり、伝統的な線形制御手法では扱いにくいです。
Most real-world systems are nonlinear, making them difficult to handle with traditional linear control methods.
Koopman理論は、非線形系を関数空間上の線形作用素として捉えることで、
非線形 → 線形制御への橋渡しを行います。
Koopman theory interprets nonlinear systems as linear operators on function spaces, bridging nonlinear dynamics to linear control.
🧠 基本アイデア / Core Concept
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元の力学系 / Original System: \(x_{t+1} = f(x_t)\)
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観測関数 / Observable Function $\psi(x)$ を定義し、
Define an observable function $\psi(x)$, and let the Koopman operator $\mathcal{K}$ satisfy: \(\psi(x_{t+1}) = \mathcal{K} \, \psi(x_t)\)
つまり、非線形な状態遷移 $f$ を、$\psi$ を介して線形作用素 $\mathcal{K}$ で記述します。
In other words, nonlinear state transitions $f$ can be represented linearly via $\psi$.
🛠️ 制御応用の流れ（Koopman制御） / Control Workflow
- 系の観測データ $(x_t, x_{t+1})$ を多数取得
Collect system observation data $(x_t, x_{t+1})$ - 観測関数 $\psi(x)$ を適用し、線形近似 $\mathcal{K}$ を構築（線形回帰など）
Apply $\psi(x)$ and estimate a linear approximation $\mathcal{K}$ (e.g., linear regression) - 得られた線形系上で LQR や MPC を設計
Design LQR or MPC on the resulting linear system - 元の状態空間に逆変換して制御入力を適用
Transform back to the original state space and apply control inputs
📈 Koopman制御の数式モデル（例） / Example Mathematical Model
- 状態変換 / State Transformation:
\(z_t = \psi(x_t)\) - 線形モデル / Linear Model:
\(z_{t+1} = A z_t + B u_t\) - 出力変換 / Output Transformation:
\(x_t = C z_t\)
📎 応用のポイント / Practical Considerations
- $\psi(x)$ の選び方が極めて重要（多項式、RBF、Autoencoder等）
Choosing $\psi(x)$ is critical (polynomials, RBF, autoencoders, etc.) - 非線形系をグローバルに線形化する試み
Attempts to globally linearize nonlinear systems - 動的モード分解（DMD）はKoopmanの特別なケース
Dynamic Mode Decomposition (DMD) is a special case of Koopman theory
🧪 本教材での実装 / Implementations in This Chapter
- Pythonスクリプト / Python Script:
koopman_linearization.py - 可視化Notebook / Visualization Notebook:
koopman_vs_dmd_visual.ipynb
⚠️ Koopman行列 $A, B, C$ の推定は、回帰やSVDなどを用いて行われます。
Estimation of Koopman matrices $A, B, C$ often uses regression or SVD.
🔚 まとめ / Summary
Koopman理論は、非線形 → 線形制御の橋渡しを行う革新的な枠組みです。
Koopman theory is an innovative framework for bridging nonlinear dynamics to linear control.
次節では、この理論の出発点とも言える動的モード分解（DMD）を詳しく見ていきます。
In the next section, we will explore Dynamic Mode Decomposition (DMD), a special case of Koopman theory.
⬅️ 前節 / Previous
モデルフリー制御の基本概念を解説します。
Covers the basics of model-free control.
➡️➡️ 次節 / Next
動的モード分解（DMD）の理論と実装を説明します。
Covers the theory and implementation of DMD.