🎯 06. デジタル H∞ 制御 / Digital H∞ Control

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📖 概要 / Overview

デジタル H∞ 制御は、ロバスト制御の一種であり、外乱やモデル誤差に対して安定性と性能を保証する制御器を、離散時間系で設計する手法です。
Digital H∞ control is a robust control approach implemented in discrete time, designed to ensure stability and performance against disturbances and model uncertainties.

本教材では、連続時間 H∞ 設計 → 離散化 → デジタル実装 → 周波数応答評価 の流れを示します。
This material covers the flow from continuous-time H∞ design → discretization → digital implementation → frequency response evaluation.

🎯 学習目標 / Learning Goals

• H∞ 制御の基本構造を理解する
  Understand the basic structure of H∞ control
• 連続時間 H∞ 制御器を MATLAB で設計できる
  Design continuous-time H∞ controllers in MATLAB
• 離散化方法（双一次変換など）を理解する
  Understand discretization methods such as bilinear transform
• Simulink モデルで動作を検証できる
  Validate the controller behavior using Simulink

📐 制御問題の定義 / Problem Formulation

感度関数と補償関数 / Sensitivity and Complementary Sensitivity

• $S(s)$：外乱抑制性能（低周波域で小さく）
  $S(s)$: Disturbance rejection (small at low frequencies)
• $T(s)$：ノイズ抑制性能（高周波域で小さく）
  $T(s)$: Noise attenuation (small at high frequencies)

H∞ 最適化条件 / H∞ Optimization Objective

• $T_{zw}(s)$：外乱 $w$ から性能出力 $z$ への伝達関数
  $T_{zw}(s)$: Transfer function from disturbance $w$ to performance output $z$
• $\lVert \cdot \rVert_\infty$ ：全周波数帯域での最大ゲイン（無限ノルム）
  $\lVert \cdot \rVert_\infty$ : Maximum gain over all frequencies (infinity norm)

🛠️ MATLABによる設計例 / MATLAB Design Example

% 状態空間モデル例 / Example state-space model
A = [...]; B = [...]; C = [...]; D = zeros(size(C,1), size(B,2));
P = ss(A,B,C,D);

% 重み付け関数（性能W1, 制御W2） / Weighting functions (Performance W1, Control W2)
s = tf('s');
W1 = (s/10 + 1)/(s/100 + 1);   % 感度関数重み / Sensitivity weight
W2 = (s/100 + 1)/(s/1000 + 1); % 補償関数重み / Control effort weight
Paug = augw(P, W1, W2);

% H∞制御器設計 / H∞ controller design
nmeas = 1; ncon = 1;
[K,CL,gamma] = hinfsyn(Paug, nmeas, ncon);

% 性能確認 / Performance check
sigma(CL); grid on
disp("H∞ gamma = " + gamma);

🔄 離散化 / Discretization

サンプリング周期の選定 / Choosing the sampling period

• 応答帯域の 1/10 程度を目安に設定
  Typically set to about 1/10 of the response bandwidth
• 例：帯域が 100 Hz → $T_s \approx 1 \ \mathrm{ms}$
  Example: bandwidth = 100 Hz → $T_s \approx 1 \ \mathrm{ms}$

双一次変換（Tustin法）による離散化 / Bilinear transform (Tustin method)

Ts = 0.001;                 % 1 ms サンプリング / Sampling
Kd = c2d(K, Ts, 'tustin');  % デジタル制御器 / Digital controller

🧪 Simulinkによる検証 / Validation with Simulink

• Simulinkモデル digital_hinf_simulink.slx で閉ループを構成
  Build a closed-loop system in Simulink using digital_hinf_simulink.slx
• 外乱入力、測定ノイズを加えて $S(z)$、$T(z)$ の挙動を確認
  Add disturbance input and measurement noise to observe $S(z)$ and $T(z)$ behavior
• ステップ応答と周波数応答を比較
  Compare step response and frequency response

図1 / Fig.1 — ステップ応答（連続 vs 離散H∞）
連続設計と離散実装の応答を比較。離散側はわずかに帯域が低く、減衰が大きい。
Step responses of continuous design and digital implementation. The digital one shows slightly lower bandwidth and higher damping.

図2 / Fig.2 — ボード線図（連続 vs 離散H∞）
中高周波でのゲイン差を可視化し、離散化の影響を確認。
Bode magnitude comparison highlighting mid–high frequency differences due to discretization.

📊 ロバスト性評価 / Robustness Metrics

Note: $\lVert S \rVert_\infty$ が小さいほど外乱に強い。2.0 は約 6 dB に相当。
Note: The smaller $\lVert S \rVert_\infty$, the stronger the disturbance rejection. 2.0 ≈ 6 dB.

💡 実装のヒント / Implementation Notes

• 固定小数点化時の量子化誤差対策
  Mitigation of quantization errors during fixed-point conversion
• 演算遅延の位相余裕への影響評価
  Evaluate the impact of computational delay on phase margin
• Simulink Coder による C コード生成 → FPGA実装（SoC_DesignKit_by_ChatGPT/c_to_hdl/）
  Generate C code using Simulink Coder → FPGA implementation (SoC_DesignKit_by_ChatGPT/c_to_hdl/)

📚 参考文献 / References

• Zhou & Doyle, Essentials of Robust Control
• Skogestad & Postlethwaite, Multivariable Feedback Control
• MATLAB Robust Control Toolbox Documentation

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