🔍 05. FFTによる周波数解析とノイズ除去（Frequency Analysis with FFT）
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制御対象の振動や信号の周期性を解析するには、周波数領域の理解が重要です。
この章では、高速フーリエ変換（FFT）を用いた信号解析・ノイズ除去の方法を学びます。
🎯 学習目標
- FFT（高速フーリエ変換）の基本動作を理解する
- 離散フーリエ変換（DFT）との関係を説明できる
- 周波数スペクトルをPythonで可視化できる
- 高周波ノイズ除去や特定帯域抽出を体験する
📐 離散フーリエ変換（DFT）の定義
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N}kn}, \quad k = 0, \dots, N-1\]- $x[n]$：時間領域の信号、$X[k]$：周波数領域のスペクトル
- $N$：サンプル数（$2^n$ が理想）
⚡ FFT（Fast Fourier Transform）
- DFTを高速に計算するアルゴリズム
- Pythonの
numpy.fft.fft()やscipy.fftで簡単に使用可能
🧪 PythonでのFFT解析例（次章で実装）
- サンプリング周波数 $f_s = 1000$ Hz
- 合成信号：50Hz（信号） + 300Hz（ノイズ）
- スペクトルを可視化してノイズ成分を確認
- 高周波成分を除去し、IFFTで再構成（フィルタリング）
🧩 実践応用例
| 用途 | 説明 |
|---|---|
| センサノイズ除去 | 高周波ピークを除去（ローパス相当） |
| モータ・振動診断 | 高調波・共振ピークを検出 |
| 通信解析 | 周波数帯域の干渉確認 |
| 変調解析 | AM/FM成分の復調などに応用可能 |
🎨 FFTスペクトルの読み方
-
$X[k]$ の絶対値をプロット： $ X[k] $ - 周波数軸のスケーリング： \(f[k] = \frac{k \cdot f_s}{N}\)
- 対称性：実数信号なら スペクトルは左右対称
💡 周波数除去の基本アイデア（手動マスキング）
X = np.fft.fft(x)
X_filtered = X.copy()
X_filtered[100:200] = 0 # 特定帯域を除去
x_filtered = np.fft.ifft(X_filtered).real
📚 参考資料
- Oppenheim & Schafer, Signals and Systems
- Lyons, Understanding Digital Signal Processing
- numpy/scipy の FFT 関数ドキュメント
⬅️ 前節 / Previous
FIR/IIRフィルタの設計と実装手法を学び、周波数解析への基礎を築きます。
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