🔁 02. Z変換と離散時間制御系
🔁 02. Z-Transform & Discrete Control Representation
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ディジタル制御では、連続系のラプラス変換に対応する離散時間の変換手法として
Z変換を用います。これは差分方程式を伝達関数的に表現するための基本です。
In digital control, the Z-transform is the discrete-time counterpart to the Laplace transform in continuous systems,
providing a fundamental way to represent difference equations as transfer functions.
🎯 学習目標 / Learning Objectives
- Z変換の基本的な定義と性質を理解する
Understand the basic definition and properties of the Z-transform - 離散系伝達関数 $G(z)$ の導出と意味を把握する
Derive and interpret discrete-time transfer functions $G(z)$ - 極・零点・安定性の概念をZ領域で理解できる
Understand poles, zeros, and stability in the Z-domain - 離散系と連続系の比較ができる
Compare discrete-time and continuous-time systems
📐 Z変換の定義 / Definition
離散信号 $x[k]$ に対して、Z変換は以下のように定義されます：
\[X(z) = \mathcal{Z}\{x[k]\} = \sum_{k=0}^\infty x[k] z^{-k}\]- $z$ は複素数変数（ $z = re^{j\omega}$ ）
$z$ is a complex variable ($z = re^{j\omega}$) - $z^{-1}$ は1ステップの遅れに相当： $x[k-1] = z^{-1}x[k]$
$z^{-1}$ corresponds to a one-step delay: $x[k-1] = z^{-1}x[k]$
🔁 Z変換の基本性質 / Basic Properties
| 性質 / Property | 内容 / Description |
|---|---|
| 線形性 / Linearity | $\mathcal{Z}{ax[k] + by[k]} = aX(z) + bY(z)$ |
| 時間シフト / Time shift | $\mathcal{Z}{x[k-n]} = z^{-n}X(z)$ |
| 畳み込み定理 / Convolution | $x[k] * h[k] \leftrightarrow X(z)H(z)$ |
🏗️ 離散時間伝達関数 / Discrete-Time Transfer Function
- 連続系 / Continuous: $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$
- 離散系 / Discrete: $G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}$
- 差分方程式のZ変換から得られる
Obtained by taking the Z-transform of the difference equation
⚙️ 離散化（Tustin法など） / Discretization Methods
Tustin（双一次変換 / Bilinear Transform）
\[s = \frac{2}{T_s} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}\]- 安定性・周波数特性の維持に優れる
Preserves stability and frequency characteristics well
ゼロ次ホールド（ZOH）変換 / Zero-Order Hold
- ラプラス変換 $G(s)$ からZ変換 $G(z)$ を直接求める
Directly derives $G(z)$ from $G(s)$ using ZOH assumption - MATLABでは
c2d()関数で変換可能
Available in MATLAB viac2d()function
🧩 安定性判定（Z平面） / Stability in the Z-Plane
- すべての極が単位円内にあるとき安定
Stable if all poles lie inside the unit circle:
-
$ z =1$：限界安定（振動） / marginally stable (oscillations) -
$ z >1$：不安定 / unstable
🧪 活用例 / Applications
- PID制御器をZ領域で表現
Represent PID controllers in the Z-domain - フィルタ設計（FIR/IIR）の伝達関数構築
Construct transfer functions for FIR/IIR filters - FFT解析など離散信号処理との融合
Integrate with FFT analysis and other DSP techniques
📚 参考資料 / References
- Ogata, Discrete-Time Control Systems
- Kuo, Digital Control Systems
- MATLAB
c2d()/d2c()Documentation
⬅️ 前節 / Previous
Covers sampling theory and Zero-Order Hold.
➡️➡️ 次節 / Next
Covers the design and comparison of discrete PID controllers.