⏱️ 01. サンプリングとディジタル制御の基礎
⏱️ 01. Sampling Theory for Digital Control
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現代の制御系は、マイコン・DSP・FPGAなどのディジタル装置を通じて実装されます。
この章では、連続時間制御から離散時間制御への橋渡しとなるサンプリング理論を学びます。
In modern control systems, implementation is often realized using digital devices such as microcontrollers, DSPs, or FPGAs.
This section introduces sampling theory as the bridge from continuous-time control to discrete-time control.
🎯 学習目標 / Learning Objectives
- サンプリングとゼロ次ホールド（ZOH）の概念を理解する
Understand the concept of sampling and Zero-Order Hold (ZOH) - ナイキスト定理とエイリアシングの危険性を説明できる
Explain the Nyquist theorem and the risks of aliasing - サンプリング周期 $T_s$ の設計指針を知る
Learn guidelines for selecting sampling periods $T_s$ - 離散化における情報損失や遅延を意識できる
Recognize information loss and delays in discretization
📏 アナログとディジタルの違い / Analog vs. Digital
| 項目 / Item | アナログ系（連続時間） / Analog (Continuous) | ディジタル系（離散時間） / Digital (Discrete) |
|---|---|---|
| 時間 / Time | 連続 $t$ | 離散 $kT_s$ |
| 処理 / Processing | 微分方程式 | 差分方程式 |
| 実装 / Implementation | 回路、アナログ演算 | マイコン、DSP、FPGAなど |
📐 サンプリングとは？ / What is Sampling?
- 時間的に連続な信号 $x(t)$ を、周期 $T_s$ で離散化する処理
Sampling converts a continuous-time signal $x(t)$ into discrete values at period $T_s$. - 離散信号： $x[k] = x(kT_s)$
ゼロ次ホールド（ZOH） / Zero-Order Hold
- 離散信号を連続系に戻す際、前の値を保持する方式
Converts discrete signals back to continuous by holding the previous value. - 実機マイコンのD/A変換器の多くがこの方式を採用
Commonly used in DACs of microcontrollers.
📈 ナイキスト定理 / Nyquist Theorem
- 正確に再現するには $f_s > 2f_{\text{max}}$
To perfectly reconstruct, the sampling frequency must satisfy:
$f_s > 2f_{\text{max}}$ - $f_{\text{max}}$：信号中の最大周波数 / maximum frequency in the signal
- $f_s$：サンプリング周波数 / sampling frequency
- $T_s = 1/f_s$
エイリアシング / Aliasing
- サンプリング不足で高周波成分が誤って低周波に見える現象
High-frequency components appear as false low frequencies when under-sampled. - 対策 / Prevention:
- サンプリング前にローパスフィルタ（アンチエイリアス）
Low-pass filtering before sampling (anti-alias filter) - 十分高いサンプリング周波数を選定
Choose sufficiently high $f_s$
- サンプリング前にローパスフィルタ（アンチエイリアス）
🧠 サンプリング周期の設計指針 / Guidelines for $T_s$
- 一般に「閉ループ帯域の10倍以上」が目安
A rule of thumb: at least 10× the closed-loop bandwidth- 閉ループ立ち上がり時間 $T_r$ に対し、 $T_s < T_r / 10$
- 遅すぎると / Too slow:
- 応答遅延、振動、安定性悪化
Response delays, oscillations, degraded stability
- 応答遅延、振動、安定性悪化
- 速すぎると / Too fast:
- 実装負荷、演算量・通信量の増加
Higher computational load and communication demand
- 実装負荷、演算量・通信量の増加
🧪 実験例 / Example Simulation
- 同じ1次系に対し、 $T_s = 0.01, 0.1, 0.5$ で応答比較
Compare responses of a first-order system for different $T_s$ values. - サンプリング遅延の影響:
- 応答遅延 / Response delay
- 量子化による階段状波形 / Step-like output from quantization
- 発散・不安定化（極端な場合）/ Divergence or instability in extreme cases
📚 参考資料 / References
- Ogata, Discrete-Time Control Systems
- Franklin et al., Digital Control of Dynamic Systems
- 岡部洋一『ディジタル制御入門』 (Introduction to Digital Control)
⬅️ 前節 / Previous
Part 04 の概要と学習目標を説明します。
Overview and learning objectives of Part 04.
➡️➡️ 次節 / Next
Z変換と離散時間伝達関数を学びます。
Covers Z-transform and discrete-time transfer functions.