【半導体】🧠 08-02. TCADで理解するMOSFETの本質 ― Poisson方程式とDrift–Diffusion

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🧭 はじめに ― V–I特性はどこから来るのか

MOSFET の V–I 特性 は、
回路シミュレーションで突然「与えられる」ものではありません。

その起点は、デバイス内部で起きている

• 電位分布（Electrostatics）
• キャリア輸送（Transport）

という、きわめて物理的な現象です。

本記事では TCAD（Technology Computer-Aided Design） の視点から、

• 🧮 Poisson 方程式（電位を決める）
• 🚗 Drift–Diffusion 方程式（電流を決める）

を軸に、
👉 MOSFET の $V$–$I$ 特性が「なぜそうなるのか」 を整理します。

🔍 TCADとは何か

TCAD は、半導体デバイス内部の物理現象を
数値計算で直接解く シミュレーション手法です。

与えるのは、

• デバイス構造
• ドーピング分布
• 材料定数
• バイアス条件

その結果として、

• 電位分布
• 電界
• キャリア密度
• 電流密度

を 同時に・連続的に 観測できます。

📌 回路シミュレーションが「結果を見る世界」だとすれば、
TCAD は「結果が生まれる瞬間を見る世界」です。

🧮 Poisson方程式 ― 電位がすべての起点

Poisson 方程式は、

電荷分布 → 電位分布

を結び付ける、半導体物理の根幹です。

MOS 構造では、

• ゲート電圧
• 酸化膜厚 $t_{ox}$
• 基板ドーピング $N_A$

が 表面電位 を通じて、チャネル形成を支配します。

つまり、

チャネルができるかどうかは、まず電位で決まる

ということです。

🧱 MOS構造で起きていること（Poissonの役割）

ゲート電圧を上げると、MOS 構造では次の順で変化が起きます。

1. ゲート電圧が印加される
2. 酸化膜を介して表面電位が変化する
3. 表面にキャリアが集まる
4. チャネルが形成される

ここまでを 支配しているのが Poisson 方程式 です。

👉 「電位がチャネルを作る」

🚗 Drift–Diffusion方程式 ― 電流を決める

チャネルができただけでは、電流は流れません。
電流を決めるのが Drift–Diffusion 方程式 です。

• Drift：電界によるキャリア移動
• Diffusion：濃度勾配によるキャリア拡散

これにより、

• なぜ $V_d$ を上げると $I_d$ が増えるのか
• なぜ低電圧で線形領域になるのか

が自然に説明できます。

👉 「輸送方程式が $I_d$ を作る」

📈 V–I特性は「物理の積み重ね」

TCAD では、次の量を同時に観測できます。

• 電位分布
• キャリア密度分布
• 電流密度分布

これらが積み重なった 結果として、

• $V_g$–$I_d$ 特性
• $V_d$–$I_d$ 特性

が 自然に立ち上がります。

🧪 SemiDevKit：教育用 1D TCAD Playground

SemiDevKit では、教育用途に特化した
軽量 1D TCAD 環境 を提供しています。

• Poisson + Drift–Diffusion
• Python 実装
• 数式 ↔ コード ↔ 図が一対一対応

🔗 TCAD トップ
https://samizo-aitl.github.io/SemiDevKit/tcad/

📊 実例①：MOSCAP C–V 特性（Poissonの結果）

酸化膜厚 $t_{ox}$ を変えると、
MOS キャパシタの C–V 特性 がどう変わるか。

👉 電位分布の違いが、容量として観測される

📊 実例②：nMOS $V_g$–$I_d$ 特性

酸化膜厚を変えたときの $V_g$–$I_d$ 特性。

• $t_{ox}$ が薄い → $V_{th}$ 低下
• 同じ $V_g$ で $I_d$ 増加

👉 Poisson → Drift–Diffusion → $I_d$

📊 実例③：nMOS $V_d$–$I_d$ 特性

• 低 $V_d$：線形領域
• 高 $V_d$：飽和領域

👉 輸送方程式が領域分けを自然に生む

🔗 TCADはゴールではない

TCAD は非常に強力ですが、

• 計算コストが高い
• 回路設計には重すぎる

という制約があります。

そこで次に登場するのが BSIM4 です。

TCADで見た物理を、
回路で“即使える形”に圧縮する

これが コンパクトモデル の役割です。

📝 まとめ

• MOSFET の $V$–$I$ 特性は Poisson / Drift–Diffusion の結果
• 電位がチャネルを作り、輸送方程式が電流を決める
• TCAD は「式が現実になる瞬間」を見せる

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👉 03：BSIM4とは何か ― 物理を回路に落とすコンパクトモデル

🧩 SemiDevKit シリーズは
「TCAD → BSIM → SPICE → 信頼性」へと続きます。