theory

状態空間制御（State-Space Control）

状態空間制御は、システムの内部状態をベクトルで表現し、
その変化を行列による動的モデルとして扱う制御理論です。
AITLにおいては、推論層で扱う論理的状態と、物理層で観測される物理的状態を接続する中間的な記述枠組みとして重要です。

離散時間システムの状態空間モデルは次のように定式化されます：

$x_{k+1} = A x_k + B u_k$ $y_k = C x_k + D u_k$

ここで：

ある初期状態から任意の最終状態に、有限時間内で制御入力により到達できる性質

判定方法（可制御行列）：

$\mathcal{C} = [B, AB, A^2B, ..., A^{n-1}B]$ $\text{rank}(\mathcal{C}) = n \Rightarrow \text{可制御}$

内部状態を出力から推定可能である性質

判定方法（可観測行列）：

$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$ $\text{rank}(\mathcal{O}) = n \Rightarrow \text{可観測}$

コスト関数：

\[J = \sum_{k=0}^{\infty} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k \right)\]

目的：
システムの安定性と制御労力のバランスを取る最適な制御入力 ( u_k = -Kx_k ) を設計

特徴：