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📐 Q値と損失抵抗の数式補足

##｜Q-Factor and Loss Resistance Formulas for Thin-Film Inductors

本資料は、薄膜インダクタの高周波特性設計における $Q$ 値および主な損失要因（直流抵抗、渦電流損失）に関する代表的な数式と設計指針を示す補足資料です。
This document provides supplemental formulas and design guidelines related to the $Q$-factor and major loss mechanisms (DC resistance, eddy current loss) in thin-film inductor design for high-frequency applications.

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✅ Q値の定義｜Definition of Q-Factor

\[Q = \frac{\omega L}{R_{\text{total}}}\]

• $Q$：Q値（無次元, quality factor）
• $\omega = 2\pi f$：角周波数（angular frequency, rad/s）
• $L$：インダクタンス（inductance, H）
• $R_{\text{total}}$：総損失抵抗（total loss resistance, Ω）

Q値は蓄積エネルギーと損失エネルギーの比を示し、値が高いほど高効率。
The $Q$-factor represents the ratio of stored to dissipated energy. Higher $Q$ means better efficiency.

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✅ 総損失抵抗の構成｜Components of Total Loss Resistance

\[R_{\text{total}} = R_{\text{DC}} + R_{\text{eddy}} + R_{\text{others}}\]

• $R_{\text{DC}}$：直流抵抗（DC resistance）
• $R_{\text{eddy}}$：渦電流損失抵抗（eddy current loss resistance）
• $R_{\text{others}}$：その他損失（誘電体損失、磁気ヒステリシスなど）
  (e.g., dielectric loss, magnetic hysteresis)

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✅ 直流抵抗の式｜Formula for DC Resistance

\[R_{\text{DC}} = \frac{\rho \cdot l}{A}\]

• $\rho$：導体材料の抵抗率（resistivity, Ω·m）
• $l$：導体長（conductor length, m）
• $A$：断面積（cross-sectional area, m²）

低周波域ではCu（銅）の低抵抗性が $Q$ 値の向上に寄与。
Copper’s low resistivity improves $Q$-factor in lower frequency ranges.

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✅ 渦電流損失の近似｜Approximation of Eddy Current Loss

\[R_{\text{eddy}} \propto \frac{1}{\delta}, \quad \delta = \sqrt{\frac{2\rho}{\mu \omega}}\]

• $\delta$：スキン深さ（skin depth, m）
• $\mu$：透磁率（magnetic permeability, H/m）
• $\omega = 2\pi f$：角周波数（angular frequency, rad/s）

高周波ではスキン効果により導通面積が減少し、実効抵抗が増加。
At high frequencies, current flows near the surface (skin effect), increasing effective resistance.

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📊 周波数と導体材料の指針

###｜Frequency and Conductor Material Selection Guidelines

周波数帯域｜Frequency Range	推奨導体｜Recommended Material	備考｜Remarks
～500 kHz	Cu（銅 / Copper）	低抵抗による直流損失低減｜Low DC resistance
1 MHz以上	Al（アルミ / Aluminum）	スキン効果に強く高周波損失が小さい｜Lower eddy current loss

材料選定は抵抗率と高周波損失のバランスが重要。
Material selection should consider both resistivity and high-frequency behavior.

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🔗 関連図（予定）｜Planned Visuals

• $Q$ 値 vs 周波数｜Q-Factor vs Frequency
• スキン深さ vs 周波数｜Skin Depth vs Frequency
• 導体断面の電流分布（低周波／高周波）｜Current distribution in cross-section (LF/HF)

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