📉 10-2 PID制御の限界

なぜ倒立振子は安定しないのか

Limits of PID Control: Why the Inverted Pendulum Cannot Be Stabilized

📌 本章のスタンス

Position of This Chapter

本章では、10-1 で導出した線形モデルに対して、
「PID制御だけを適用すると何が起きるのか」を
ごまかさず、逃げずに示します。

In this chapter, we honestly examine what happens when only PID control is applied to the linearized model derived in 10-1.

最初に、結論を明示します。

The conclusion is stated upfront.

倒立振子は、PID制御で
「たまたま立つ」ことはあっても、
安定性を保証することはできない。

With PID control, an inverted pendulum may stand “by chance,”
but its stability cannot be guaranteed.

1️⃣ 対象モデル（再掲）

Target Model (Recap)

状態変数

State Vector

\[\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \theta \\ \dot{\theta} \\ x \\ \dot{x} \end{bmatrix}\]

線形化モデル

Linearized Model

\[\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B u\] \[A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{(M+m)g}{lM} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\frac{mg}{M} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{1}{lM} \\ 0 \\ \frac{1}{M} \end{bmatrix}\]

2️⃣ 制御対象の本質：不安定極

Essence of the Plant: Unstable Pole

角度系のみを抜き出すと、次式になります。

Extracting only the angular dynamics yields:

\[\ddot{\theta} = \frac{(M+m)g}{lM}\theta - \frac{1}{lM}u\]

制御入力が存在しない場合：

Without control input:

\[\ddot{\theta} = \frac{(M+m)g}{lM}\theta\]

この解は、

The solution behaves as:

\[\theta(t) \sim e^{\lambda t}, \quad \lambda = \sqrt{\frac{(M+m)g}{lM}} > 0\]

すなわち、指数的に発散する系です。

That is, the system is exponentially unstable.

➡️ 元々不安定な対象である
➡️ The plant is inherently unstable.

3️⃣ PID制御の構成

PID Control Structure

角度のみを制御対象とし、誤差を定義します。

The control target is the angle only.

\[e(t) = \theta_{\text{ref}} - \theta(t)\]

PID制御則は次式です。

The PID control law is:

\[u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t)\,dt + K_d \frac{de(t)}{dt}\]

直立保持問題では、

For upright stabilization:

\[\theta_{\text{ref}} = 0\]

4️⃣ PIDを入れても何が起きるか

What Actually Happens with PID

4.1 🌈 理想連続時間（幻想）

Ideal Continuous-Time World (Fantasy)

No noise, no saturation, no delay.

この 理想世界 では、

In this idealized world,

the system can be stabilized by tuning gains.

👉 しかし、これは現実の制御ではありません。
👉 This has little educational or practical value.

4.2 ⚠️ 現実1：入力飽和

Reality 1: Input Saturation

実機では、必ず制約があります。

Real systems always have limits.

\[|u| \le u_{\max}\]

角度が大きくなると、

As the angle grows:

\[K_p \theta \gg u_{\max}\]

結果として、

As a result:

\[u \rightarrow \text{飽和}\]

➡️ 線形設計は即座に破綻
➡️ Linear control assumptions collapse immediately.

4.3 📡 現実2：微分項のノイズ増幅

Reality 2: Noise Amplification by Derivative Term

微分項

The derivative term

\[K_d \dot{\theta}\]

は、以下を そのまま増幅 します。

directly amplifies:

結果として：

This leads to:

4.4 ⏱ 現実3：離散時間化

Reality 3: Discretization

サンプリング周期 (T_s) を導入すると、

With sampling period (T_s):

\[u[k] = K_p e[k] + K_i \sum e[k] T_s + K_d \frac{e[k]-e[k-1]}{T_s}\]

ここで致命的なのは、

The critical issue is:

倒立振子の発散速度は非常に速い

The divergence speed of the inverted pendulum is very high.

\[\theta(t+T_s) \approx \theta(t)e^{\lambda T_s}\] \[\lambda T_s \gtrsim 1\]

となった瞬間、

Once this condition is met:

➡️ 制御が入る前に倒れる
➡️ The pendulum falls before control reacts.

5️⃣ シミュレーションで必ず起きる典型例

Typical Simulation Outcomes

PID単体で必ず観測されるパターン：

Typical behaviors with PID alone:

  1. 小さな初期角 → 立つ
    Small initial angle → stable
  2. やや大きな初期角 → 飽和 → 発散
    Larger angle → saturation → divergence
  3. ノイズ追加 → 微分暴走
    Noise added → derivative blow-up
  4. サンプリング周期増大 → 不安定化
    Larger sampling time → instability

➡️ 条件付きでしか成立しない制御
➡️ Control works only under limited conditions.

6️⃣ 本章の結論（重要）

Conclusion of This Chapter

PID制御は：

PID control:

PIDが悪いのではありません。

PID itself is not the problem.

役割を超えた使い方をしている

It is being used beyond its intended role.

7️⃣ 次章への必然

Why the Next Chapter Is Necessary

ここで、自然に次の問いが生まれます。

This naturally raises new questions:

PIDは これらを判断できません。

PID cannot make these decisions.

➡️ そこで、FSM（Finite State Machine） を
PIDの上位に載せます。

➡️ This motivates introducing an FSM above PID.

8️⃣ 次章予告

Preview of the Next Chapter

10-3 FSMオーバレイ制御

PID remains, FSM supervises, and remaining limitations are openly discussed.

✅ チェックリスト

Checklist