🎯 10-1 倒立振子モデル：非線形 → 線形化 → 状態空間

Inverted Pendulum Model: Nonlinear → Linearized → State-Space

📌 本章の目的

Purpose of This Chapter

本章では、倒立振子（cart-pole 系） を題材に、
制御設計の出発点となる 数式モデルの構築プロセス を整理します。

This chapter introduces the mathematical modeling process of the inverted pendulum (cart-pole system), which serves as the foundation for control design.

特に以下の流れを重視します。

The focus is on the following sequence:

  1. ⚙️ 非線形運動方程式の確認
    Understanding the nonlinear equations of motion
  2. ✂️ 直立平衡点まわりでの線形化
    Linearization around the upright equilibrium
  3. 📐 状態空間モデルへの整理
    Reformulation into state-space representation

1️⃣ モデル定義（Cart-Pole 系）

Model Definition (Cart-Pole System)

以下の物理パラメータを定義します。

The following physical parameters are defined.

状態変数

State Variables

\[\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \theta \\ \dot{\theta} \\ x \\ \dot{x} \end{bmatrix}, \qquad u = F\]

2️⃣ 非線形運動方程式

Nonlinear Equations of Motion

運動方程式は以下の 非線形連立微分方程式 で与えられます。

The dynamics are described by the following coupled nonlinear differential equations.

\[(M+m)\ddot{x} + m l \ddot{\theta}\cos\theta - m l \dot{\theta}^2 \sin\theta = u\] \[l\ddot{\theta} + \ddot{x}\cos\theta - g\sin\theta = 0\]

ここでは、台車と振子の 相互結合 が
(\cos\theta)、(\sin\theta)、(\dot{\theta}^2) を通じて現れている点が重要です。

Note that the coupling between the cart and the pendulum appears through (\cos\theta), (\sin\theta), and (\dot{\theta}^2).

3️⃣ 明示形（加速度表現）

Explicit Form (Accelerations)

分母を次のように定義します。

Define the denominator as follows.

\[D(\theta)= (M+m) - m\cos^2\theta\]

このとき、加速度は以下の 明示形 で表されます。

The accelerations can then be written explicitly.

\[\ddot{x} = \frac{ u + m l \dot{\theta}^2\sin\theta - m g \sin\theta\cos\theta }{ D(\theta) }\] \[\ddot{\theta} = \frac{ u\cos\theta - m l \dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta + (M+m)g\sin\theta }{ l\,D(\theta) }\]

この段階では、強い非線形性 が残っており、
単純な PID 制御が成立しにくいことが直感的に分かります。

At this stage, strong nonlinearities remain, making simple PID control difficult.

4️⃣ 線形化（直立平衡点）

Linearization Around Upright Equilibrium

直立平衡点まわりで、次の近似を行います。

The following approximations are applied around the upright equilibrium.

\[\theta \approx 0,\quad \dot{\theta}\approx 0,\quad x\approx 0,\quad \dot{x}\approx 0\] \[\sin\theta \approx \theta,\quad \cos\theta \approx 1\]

分母は次のように簡略化されます。

The denominator simplifies to:

\[D(0)= (M+m) - m = M\]

線形化結果

Linearized Dynamics

\[\ddot{x} \approx \frac{1}{M}u - \frac{m g}{M}\theta\] \[\ddot{\theta} \approx \frac{(M+m)g}{l M}\theta - \frac{1}{lM}u\]

ここで、角度 (\theta) が発散方向の力学を持つ ことが明確になります。

This clearly shows that the angle (\theta) has inherently unstable dynamics.

5️⃣ 状態空間表現

State-Space Representation

線形化されたモデルは、次の状態方程式で表されます。

The linearized model can be expressed in state-space form.

\[\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B u\] \[A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{(M+m)g}{lM} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\frac{mg}{M} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{1}{lM} \\ 0 \\ \frac{1}{M} \end{bmatrix}\]

この形が、以降の PID 制御・FSM 構造設計 の基盤となります。

This form serves as the basis for subsequent PID control and FSM-based design.

6️⃣ 出力例

Example Outputs

代表的な出力として、角度と位置を選びます。

A typical output selection includes the pendulum angle and cart position.

\[\mathbf{y}= \begin{bmatrix} \theta \\ x \end{bmatrix}\] \[C= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}, \quad D= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\]

🧭 次章へ

Next Chapter

次章では、このモデルを用いて、

を 構造的に分解 していきます。

In the next chapter, we analyze when and why PID control succeeds or fails, based on this model.