👁️ 04. オブザーバ設計と状態推定 / Observer Design & State Estimation

Note: 数式が正しく表示されない場合は GitHub版を参照してください。

状態フィードバック制御を行うには、すべての状態 $x(t)$ を把握する必要があります。
しかし、実システムでは一部の状態しか直接測定できない場合が多くあります。
そこで、出力 $y(t)$ から状態 $x(t)$ を推定する仕組みが「オブザーバ（Observer）」です。

To apply state feedback control, all states $x(t)$ must be known.
In real systems, only part of the state may be directly measured.
Thus, an observer estimates $x(t)$ from the output $y(t)$.

🎯 学習目標 / Learning Goals

日本語 / Japanese	English
オブザーバ（状態推定器）の構造を理解	Understand observer structure
フルオーダーオブザーバの設計式を説明	Explain full-order observer design
極配置により推定誤差収束を設計	Design estimation error convergence via pole placement
Pythonでオブザーバを設計・検証	Design & verify observers in Python

👁️ オブザーバの基本構造 / Basic Structure

オブザーバ（推定器）の状態方程式：

\[\dot{\hat{x}} = A \hat{x} + B u + L(y - \hat{y}), \quad \hat{y} = C \hat{x}\]

項目	意味 / Meaning
$\hat{x}$	推定状態ベクトル / Estimated state vector
$L$	オブザーバゲイン / Observer gain
$y - \hat{y}$	出力誤差（推定誤差）/ Output estimation error

✅ 誤差系のダイナミクス / Error Dynamics

推定誤差 $e = x - \hat{x}$ とすると：

\[\dot{e} = (A - LC)e\]

$A - LC$ の固有値配置で、推定誤差の収束特性を決定
Designing the eigenvalues of $A - LC$ controls error convergence

📘 設計例 / Design Example

対象システム / Target system:

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\]

目標極 / Desired poles: $s = -5$, $s = -6$

🧪 Pythonによるオブザーバ設計 / Observer Design in Python

import numpy as np
import control

A = np.array([[0, 1], [-2, -3]])
C = np.array([[1, 0]])

# 目標極 / Desired poles
observer_poles = [-5, -6]

# オブザーバゲイン L 計算 / Compute observer gain L
L = control.place(A.T, C.T, observer_poles).T
print("Observer Gain L:")
print(L)

🔄 オブザーバ＋制御器の統合構造 / Combined Structure

状態フィードバックが推定値 $\hat{x}(t)$ を使用する場合：

\[u(t) = -K \hat{x}(t) + r(t)\]

実際に使用するのは推定状態 $\hat{x}$
推定精度が制御性能に直結

      +----------+     +----------+
r ───►│  -Kx̂ + r │     │ Observer │
      └────┬─────┘     └────┬────┘
           │               │
           ▼               ▼
         [Plant] ◄─────── y = Cx

⚠️ 設計のポイント / Design Notes

日本語 / Japanese	English
$A - LC$ の極は制御系より左側（高速収束）に配置	Place $A - LC$ poles further left for faster convergence
制御の2～5倍の速さが目安	2–5× faster than control loop
可観測性がないと設計不可	Not possible if system is not observable
`control.obsv(A, C)` で検査可能	Check with `control.obsv(A, C)`

📚 参考資料 / References

「現代制御理論入門」森北出版
Modern Control Engineering – K. Ogata
Python: control.place(), control.obsv(), numpy.linalg

⬅️ 前節 / Previous Section
状態フィードバックと極配置の理論を解説します。
Covers state feedback and pole placement theory.

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