🎛️ 03. 状態フィードバックと極配置 / State Feedback & Pole Placement
Note: 数式が正しく表示されない場合は GitHub版 を参照してください。
状態空間モデルを使うことで、システムの応答特性（安定性・速度・減衰など）を極の配置で設計できます。
本節では、状態フィードバック制御と極配置法（Pole Placement）の理論・設計手法を解説します。
Using a state-space model, you can design system dynamics (stability, speed, damping) by placing poles.
This section covers the theory and methods of state feedback control and pole placement.
🎯 学習目標 / Learning Goals
| 日本語 / Japanese | English |
|---|---|
| 状態フィードバック制御の構造を理解する | Understand the structure of state feedback control |
| 極配置による応答設計を理解する | Learn to design response by pole placement |
| 可制御性が極配置の前提条件であることを説明できる | Explain controllability as a prerequisite |
| Pythonで極配置制御器を設計できる | Implement pole placement controller in Python |
📐 状態フィードバックとは？ / What is State Feedback?
構造 / Structure
\[u(t) = -K x(t) + r(t)\]- $K$: 状態フィードバックゲイン
- $r(t)$: 参照入力
- これにより閉ループ極を任意に設定可能
✅ 閉ループ系の方程式 / Closed-loop Equation
オリジナル系：
\[\dot{x} = A x + B u\]フィードバック $u = -Kx + r$ を代入：
\[\dot{x} = (A - BK) x + Br\]- 状態行列が $A - BK$ に変わる
- 極配置はこの固有値を設計すること
🧠 極配置の目的 / Purpose of Pole Placement
| 日本語 / Japanese | English |
|---|---|
| 極は安定性・応答速度・減衰を決定 | Poles determine stability, speed, damping |
| 左半平面にあれば安定 | Stable if in the left-half plane |
| 原点近い → 遅い応答 | Near origin → slow response |
| 左に遠い → 高速応答（ただしゲイン大） | Far left → fast response (high gain risk) |
| 複素極の虚部 → 振動特性 | Imaginary part of complex poles → oscillations |
✅ 極配置可能な条件 / Condition for Pole Placement
- 完全可制御（Fully Controllable） が必要
- 可制御でない場合、一部の極は動かせない
📘 設計例 / Example
2次系：
\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]目標極（例）： $s = -2$, $s = -5$
🧪 Pythonでの極配置 / Pole Placement in Python
import numpy as np
import control
A = np.array([[0, 1], [-2, -3]])
B = np.array([[0], [1]])
# 目標極 / Desired poles
desired_poles = [-2, -5]
# フィードバックゲイン計算 / Compute feedback gain
K = control.place(A, B, desired_poles)
print("Gain K:", K)
# 閉ループ系の確認 / Check closed-loop poles
A_cl = A - B @ K
print("Closed-loop eigenvalues:", np.linalg.eigvals(A_cl))
📈 ステップ応答で確認 / Step Response Check
C = np.array([[1, 0]])
D = np.array([[0]])
sys_cl = control.ss(A_cl, B, C, D)
import matplotlib.pyplot as plt
T, y = control.step_response(sys_cl)
plt.plot(T, y)
plt.title("Step Response of Closed-Loop System")
plt.grid(True)
plt.show()
💡 設計のヒント / Design Tips
| 日本語 / Japanese | English |
|---|---|
| 極を左に配置しすぎる → 高速だがゲイン大・ノイズ感度増加 | Far left → fast but high gain & noise sensitivity |
| PID設計同様、速度・振動・安定性のバランス重要 | Balance speed, oscillation, stability like PID |
| モデル精度・可制御性・最小位相性を確認 | Verify model accuracy, controllability, minimum-phase |
📚 参考資料 / References
- 「現代制御理論入門」森北出版
- Modern Control Engineering – K. Ogata
- Python:
control.place(),control.ss(),step_response()
⬅️ 前節 / Previous Section
可制御性と可観測性の基礎を解説します。
Covers the basics of controllability & observability.
➡️ 次節 / Next Section
オブザーバ設計と推定器の理論を解説します。
Covers observer design and estimation theory.
📚 この章のREADMEへ / Back to Part 2 README
現代制御理論の全体構成と教材一覧に戻ります。
Return to the full Part 2 structure and materials list.