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🔍 02. 可制御性と可観測性の基礎

状態空間モデルを使って制御系を設計するためには、「その状態を操作できるか？」「状態を外部から観測できるか？」という2つの性質が極めて重要です。本節では、可制御性（controllability） と 可観測性（observability） の定義・数学的検査法・物理的な意味を解説します。

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🎯 学習目標

• 可制御性・可観測性の概念を理解する
• Kalmanのランク条件による判別法を説明できる
• Pythonでシステムの可制御性・可観測性を検査できる
• 極配置設計やオブザーバ設計に向けた土台を築く

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⚙️ 可制御性とは？

ある初期状態 $x(0)$ から、任意の状態 $x(t)$ に有限時間内で到達できるか？

✅ Kalman可制御性判定

可制御性行列：

\[\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}\]

• $\text{rank}(\mathcal{C}) = n$ → 完全可制御
• ランクが $< n$ → 一部状態に制御が届かない

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👀 可観測性とは？

出力 $y(t)$ の履歴から、内部状態 $x(t)$ を一意に推定できるか？

✅ Kalman可観測性判定

可観測性行列：

\[\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}\]

• $\text{rank}(\mathcal{O}) = n$ → 完全可観測
• ランクが $< n$ → 一部状態が出力に現れない

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📘 例題システム

システム：

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\]

• 可制御性あり？可観測性あり？

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🧪 Pythonによる検査（controlライブラリ）

import numpy as np
import control

A = np.array([[0, 1], [-2, -3]])
B = np.array([[0], [1]])
C = np.array([[1, 0]])

# 可制御性
Ctrb = control.ctrb(A, B)
print("Controllability Matrix:")
print(Ctrb)
print("Rank:", np.linalg.matrix_rank(Ctrb))

# 可観測性
Obsv = control.obsv(A, C)
print("Observability Matrix:")
print(Obsv)
print("Rank:", np.linalg.matrix_rank(Obsv))

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💡 工学的な意味

•	可制御でない → 操作できない状態が存在（= 極配置できない）
•	可観測でない → 外部からわからない状態が存在（= オブザーバ不可）

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🧠 実務上の注意点

•	数値誤差でランクが落ちることも → 特異値分解やしきい値で評価
•	制御系設計では、可制御かつ可観測 な系を前提とすることが多い
•	実システムでのセンサ設計と密接に関わる（観測可能性）

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📚 参考資料

•	「現代制御理論入門」森北出版
•	Ogata, Modern Control Engineering
•	Python: control.ctrb(), control.obsv(), numpy.linalg.matrix_rank()

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