🔍 02. 可制御性と可観測性の基本 / Basics of Controllability & Observability
Note: 数式が正しく表示されない場合は GitHub版 を参照してください。
状態空間モデルを使って制御系を設計する際には、
「その状態を操作できるか？」と「外部から推定できるか？」という2つの性質が極めて重要です。
本節では、可制御性（Controllability） と 可観測性（Observability） の定義、数学的検査法、工学的意味を解説します。
When designing control systems with state-space models,
two key properties are: Can we control the states? and Can we observe them externally?
This section explains the definitions, mathematical tests, and engineering implications of controllability and observability.
🎯 学習目標 / Learning Goals
| 日本語 / Japanese | English |
|---|---|
| 可制御性・可観測性の概念を理解する | Understand the concepts of controllability & observability |
| Kalmanのランク条件による判別法を説明できる | Explain Kalman’s rank condition |
| Pythonで可制御性・可観測性を検査できる | Test these properties in Python |
| 極配置・オブザーバ設計の土台を築く | Build the foundation for pole placement & observer design |
⚙️ 可制御性とは？ / What is Controllability?
定義 / Definition
ある初期状態 $x(0)$ から任意の状態 $x(t)$ に、有限時間で到達できる性質。
The property that any initial state $x(0)$ can be driven to any desired state $x(t)$ in finite time.
Kalman 可制御性行列 / Controllability Matrix
\[\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}\]- $\mathrm{rank}(\mathcal{C}) = n$ → 完全可制御 / Fully controllable
- $\mathrm{rank}(\mathcal{C}) < n$ → 不可制御状態あり / Not all states controllable
👀 可観測性とは？ / What is Observability?
定義 / Definition
出力 $y(t)$ の履歴から、内部状態 $x(t)$ を一意に推定できる性質。
The property that the entire state vector $x(t)$ can be uniquely determined from the history of $y(t)$.
Kalman 可観測性行列 / Observability Matrix
\[\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}\]- $\mathrm{rank}(\mathcal{O}) = n$ → 完全可観測 / Fully observable
- $\mathrm{rank}(\mathcal{O}) < n$ → 不可観測状態あり / Not all states observable
📘 例題システム / Example System
\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\]- 可制御性あり？ / Is it controllable?
- 可観測性あり？ / Is it observable?
🧪 Pythonによる検査 / Testing in Python (control library)
import numpy as np
import control
A = np.array([[0, 1], [-2, -3]])
B = np.array([[0], [1]])
C = np.array([[1, 0]])
# 可制御性
Ctrb = control.ctrb(A, B)
print("Controllability Matrix:")
print(Ctrb)
print("Rank:", np.linalg.matrix_rank(Ctrb))
# 可観測性
Obsv = control.obsv(A, C)
print("Observability Matrix:")
print(Obsv)
print("Rank:", np.linalg.matrix_rank(Obsv))
💡 工学的意味 / Engineering Implications
| 日本語 / Japanese | English |
|---|---|
| 可制御でない → 操作できない状態が存在（極配置不可） | Not controllable → Some states cannot be influenced (pole placement impossible) |
| 可観測でない → 推定できない状態が存在（オブザーバ不可） | Not observable → Some states cannot be estimated (observer design impossible) |
🧠 実務上の注意点 / Practical Notes
- 数値誤差でランクが落ちる場合あり → 特異値分解（SVD）やしきい値で評価
Numerical errors may cause rank reduction → Use SVD or tolerance thresholds - 設計では可制御かつ可観測な系を前提にすることが多い
Design usually assumes both controllable and observable - 実システムではセンサ配置と密接に関連
Closely related to sensor placement in real systems
📚 参考資料 / References
- 「現代制御理論入門」森北出版
- Modern Control Engineering – K. Ogata
- Python:
control.ctrb(),control.obsv(),numpy.linalg.matrix_rank()
⬅️ 前節 / Previous Section
状態空間表現の基礎を解説します。
Covers the basics of state-space representation.
➡️ 次節 / Next Section
状態フィードバックと極配置を解説します。
Covers state feedback and pole placement.
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