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🧮 01. 状態空間表現の基礎

状態空間表現は、システムの動的挙動をベクトルと行列で表すモダン制御理論の基礎です。本節では、状態方程式の構成、入出力との関係、連立微分方程式との対応を学びます。

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🎯 学習目標

• 状態空間表現の構造と意味を理解する
• $A$, $B$, $C$, $D$ 行列の役割を説明できる
• 古典制御（伝達関数）との対応関係を理解する
• Pythonで状態空間モデルを扱えるようになる

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📘 状態空間モデルとは？

状態空間表現は、以下のように記述されます：

\[\\begin{aligned} \\dot{x}(t) &= A x(t) + B u(t) \\\\ y(t) &= C x(t) + D u(t) \\end{aligned}\]

• $x(t)$：状態ベクトル（系の内部状態）
• $u(t)$：入力（制御信号）
• $y(t)$：出力（観測可能な量）

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🧠 各行列の意味

行列	次元	役割
$A$	$(n \times n)$	状態の自己遷移（システム行列）
$B$	$(n \times m)$	入力が状態に与える影響（入力行列）
$C$	$(p \times n)$	状態が出力に与える影響（出力行列）
$D$	$(p \times m)$	入力が出力に直接与える影響（フィードスルー）

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📦 例：2次系の状態空間化

システム：

\[G(s) = \\frac{1}{s^2 + 3s + 2}\]

状態空間形式に変換すると：

\[\\begin{aligned} \\dot{x}_1 &= x_2 \\\\ \\dot{x}_2 &= -2x_1 -3x_2 + u \\\\ y &= x_1 \\end{aligned}\]

行列表記：

\[A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ -2 & -3 \\end{bmatrix}, \quad B = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \quad C = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix}, \quad D = 0\]

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🔧 Pythonでの実装例（control ライブラリ）

import numpy as np
import control

A = np.array([[0, 1], [-2, -3]])
B = np.array([[0], [1]])
C = np.array([[1, 0]])
D = np.array([[0]])

sys = control.ss(A, B, C, D)
print(sys)

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🔁 状態空間と伝達関数の対応

状態空間 $\rightarrow$ 伝達関数：

\[G(s) = C (sI - A)^{-1} B + D\]

Pythonでは control.ss2tf() を使って変換できます。

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📈 ステップ応答の例

import matplotlib.pyplot as plt
T, y = control.step_response(sys)
plt.plot(T, y)
plt.title("Step Response of State-Space System")
plt.grid(True)
plt.show()

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🔍 状態の意味と設計視点

•	状態とは「システムの内部の記憶（履歴）」を最小限に保持する変数群
•	制御器設計では、この状態を操作・推定することが目的となる
•	例：モータ回転数→[位置, 速度] を状態とみなす

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📚 参考資料

•	「現代制御理論入門」森北出版
•	Franklin et al., Feedback Control of Dynamic Systems
•	Python: control.ss, ss2tf, step_response

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