🧮 01. 状態空間表現の基礎

01. Basics of State-Space Representation

Note: 数式が正しく表示されない場合は GitHub版を参照してください。

状態空間表現は、システムの動的挙動をベクトルと行列で表すモダン制御理論の基礎です。本節では、状態方程式の構成、入出力との関係、伝達関数との対応、そしてPythonによる実装までを学びます。
State-space representation expresses dynamics with vectors and matrices. This section covers the structure of state equations, the relation to inputs/outputs, the correspondence to transfer functions, and a short Python implementation.

🎯 学習目標｜Learning Objectives

状態空間の構造と意味を理解する
Understand the structure and meaning of the state-space model
$A,B,C,D$ 行列の役割を説明できる
Explain the roles of the $A,B,C,D$ matrices
伝達関数との対応関係を示せる
Relate state-space to transfer functions
Pythonで状態空間モデルを扱える
Build and simulate state-space models in Python

📘 状態空間モデルとは？｜What is a State-Space Model?

連続時間の線形時不変（LTI）系は、次で表されます：
An LTI continuous-time system is written as:

\[\begin{aligned} \dot{x}(t) &= A\,x(t) + B\,u(t) \\ y(t) &= C\,x(t) + D\,u(t) \end{aligned}\]

$x(t)$：状態ベクトル / state vector — 系の内部記憶
$u(t)$：入力 / input — 制御信号
$y(t)$：出力 / output — 観測可能量

🧠 各行列の意味｜Meaning of Each Matrix

行列	次元 / Dimension	役割 / Role
$A$	$(n \times n)$	状態の自己遷移（システム行列） / State transition (system matrix)
$B$	$(n \times m)$	入力が状態に与える影響 / How inputs affect states
$C$	$(p \times n)$	状態が出力に与える影響 / How states affect outputs
$D$	$(p \times m)$	入力の直接通過（フィードスルー） / Direct feedthrough

📦 例：2次系の状態空間化｜Example: 2nd-Order System

伝達関数：

\[G(s)=\frac{1}{s^2+3s+2}\]

可制御正準形の一例：
One possible controllable canonical form:

\[\begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= -2x_1 - 3x_2 + u \\ y &= x_1 \end{aligned}\]

行列表記：
Matrix form:

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}\]

🔁 伝達関数との対応｜Relation to Transfer Function

状態空間 $\rightarrow$ 伝達関数：
From state-space to transfer function:

\[G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B + D.\]

🔧 Python実装例｜Python Example (`python-control`)

import numpy as np
import control

A = np.array([[0, 1],
              [-2, -3]])
B = np.array([[0],
              [1]])
C = np.array([[1, 0]])
D = np.array([[0]])

# 状態空間モデル
sys = control.ss(A, B, C, D)
print(sys)

# 伝達関数へ変換
G = control.ss2tf(sys)
print(G)

# ステップ応答
T, y = control.step_response(sys)
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(T, y)
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Output")
plt.title("Step Response (State-Space)")
plt.grid(True)
plt.show()

🔍 設計視点のメモ｜Design Notes

状態は「必要最小限の内部記憶」。制御器はこの状態を操作（フィードバック）し、未観測成分は推定（オブザーバ）する。
代表的な例：モータなら状態を [位置, 速度] とする、など。
後続節で可制御性・可観測性を判定し、極配置やオブザーバ設計へ進む。

➡️➡️ 次節 / Next Section
可制御性と可観測性、Kalmanランク条件を学びます。
Learn controllability, observability, and the Kalman rank conditions.

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