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🛡️ 05. 安定余裕とロバスト性の評価

現実の制御系は、モデル誤差・外乱・遅延などによる不確かさを常に抱えています。安定性を保証しつつ、こうした変動に耐える性能 ― それが「ロバスト性」です。本節では、ゲイン余裕・位相余裕 による定量評価法とその設計指針を学びます。

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🎯 本節の学習目標

• 安定余裕（ゲイン余裕・位相余裕）の定義と算出法を理解する
• 安定余裕が実システムに与える意味を把握する
• ロバスト性と安定余裕の関係性を説明できる
• 仕様に基づいた設計改善の方向性を見出せる

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⚖️ 安定余裕とは？

✅ 位相余裕（Phase Margin, PM）

ゲイン交差周波数 $\omega_g$ における位相の余裕：

\[\text{PM} = 180^\circ + \angle G(j\omega_g)\]

✅ ゲイン余裕（Gain Margin, GM）

位相交差周波数 $\omega_p$ におけるゲインの余裕：

\[\text{GM} = \frac{1}{|G(j\omega_p)|} \quad \text{または} \quad -20 \log_{10} |G(j\omega_p)| [\mathrm{dB}]\]

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🧠 なぜ必要か？

• モデルのズレや外乱があっても安定を保つ必要がある
• 位相が予期せず回る／ゲインが増減する → 不安定の原因に
• 十分な余裕があると、ノイズやパラメータ変動に強くなる

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🎛️ 設計目安と実務値

指標	安定の目安	備考
位相余裕 PM	$> 30^\circ$	45～60°が望ましい場合も
ゲイン余裕 GM	$> 6$ dB	10～20 dBが好まれる場合も

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🧪 周波数応答からの読み取り

手順（ボード線図）

1. ゲインプロットが0 dBになる点 $\omega_g$ を見つける
2. その周波数における位相 → PMを計算
3. 位相が $-180^\circ$ になる点 $\omega_p$ を見つける
4. その周波数におけるゲイン → GMを計算

Python例（controlライブラリ）

import control
from control.freqplot import margin

G = control.tf([1], [1, 2, 1])
gm, pm, wg, wp = margin(G)
print(f"Gain Margin: {gm}, Phase Margin: {pm}")

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🔍 ロバスト性との関係

✅ ロバスト性とは？

•	不確かさや変動に対する安定性・性能維持の能力
•	モデル誤差、パラメータ変動、外乱などへの耐性

安定余裕がロバスト性を担保する理由 • 大きなPM/GM → 安定の「バッファ」あり • ノイズ・遅延・位相ずれ があっても発散しにくい

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💡 設計改善のヒント

•	PMが小さい → 位相補償器（リード補償）を追加
•	GMが小さい → ゲインを抑える or フィルタ追加
•	両者が小さい → 制御器の構造見直し（PI → PIDなど）

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📚 参考資料

•	森北出版「制御工学」
•	Franklin et al., Feedback Control of Dynamic Systems
•	Python: control.margin, bode_plot

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