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📉 04. 周波数応答とボード線図の基礎

ボード線図（Bode plot）は、制御系の周波数応答特性を視覚的に評価するための基本的なツールです。本節では、ボード線図の読み方・描き方、およびゲイン交差周波数・位相余裕と安定性との関係について学びます。

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🎯 本節の学習目標

• 周波数応答とは何かを理解する
• ボード線図の読み方と構成要素（ゲイン、位相）を把握する
• ゲイン交差周波数・位相余裕の意味を説明できる
• 安定性とロバスト性の観点から周波数特性を評価できる

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🎧 周波数応答とは？

システム $G(s)$ において、$s = j\omega$ と置くことで周波数応答が得られます：

\[G(j\omega) = |G(j\omega)| \angle \arg(G(j\omega))\]

• 振幅特性（ゲイン）：入力信号の大きさに対する出力の大きさ
• 位相特性：入力と出力の間の遅れ（位相差）

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📊 ボード線図（Bode Plot）の構成

• 横軸：周波数（対数スケール, [rad/s]）

• 縦軸（上）：ゲイン（dB）→ $20 \log_{10}

  G(j\omega)

  $

• 縦軸（下）：位相（degree）→ $\arg G(j\omega)$

ボード線図は、周波数特性を2つのプロット（ゲイン・位相）に分けて表示する形式です。

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🧠 重要な周波数点と概念

✅ ゲイン交差周波数 $\omega_g$

• ゲイン $

  G(j\omega)

  = 1$（0 dB）となる周波数

✅ 位相交差周波数 $\omega_p$

• 位相 $\angle G(j\omega) = -180^\circ$ となる周波数

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🛡️ 安定性とロバスト性

位相余裕（Phase Margin, PM）

\[\text{PM} = 180^\circ + \angle G(j\omega_g)\]

• ゲイン交差周波数における位相の余裕

ゲイン余裕（Gain Margin, GM）

\[\text{GM} = \frac{1}{|G(j\omega_p)|} \quad \text{または} \quad -20\log_{10}|G(j\omega_p)|\]

• 位相交差周波数におけるゲインの余裕

✅ 経験則（目安）

• 位相余裕：$> 30^\circ$
• ゲイン余裕：$> 6$ dB

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🔧 典型的な応答の例

要素	ゲイン傾き	位相変化
積分器 $1/s$	-20 dB/dec	-90°
微分器 $s$	+20 dB/dec	+90°
一次遅れ	-20 dB/dec	-90°（漸近）
二次遅れ	-40 dB/dec	-180°（漸近）

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🧪 Pythonでの可視化例

import control
import matplotlib.pyplot as plt

G = control.tf([1], [1, 2, 1])  # 二次遅れ系など
control.bode_plot(G, dB=True, Hz=False, deg=True)
plt.show()

•	control.bode_plot：ゲイン・位相を一括描画
•	matplotlibとの連携で図の調整・保存が可能

出力例は /figures/bode_example.png を参照。

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📚 参考資料

•	森北出版「制御工学」
•	Franklin et al., Feedback Control of Dynamic Systems
•	Python: control, matplotlib

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